Logik


Kurzbeschreibung der Logik

Logik ist die Lehre vom ordnungsgemäßen Denken, vom richtigen Schlussfolgern. Die Logik untersucht die Geltung von Aussagen und Aussageketten betreffs ihrer Struktur. Losgelöst vom jeweiligen konkreten Inhalt der Aussagen.

Logische Wahrheit bedeutet, dass eine Aussage nicht den Regeln bzw. Gesetzen der Logik widerspricht.

Der Begriff Logik oder logisch wird auch in einem etwas weiterem Sinne benutzt, von vernünftig.

Ein gängiges Beispiel für Logik: Wenn A = B und B = C, dann ist auch A = C.
Wenn Anna in der gleichen Hauptschulklasse ist wie Jonas, und Jonas in der gleichen Hauptschulklasse wie Emma, dann ist auch Anna in der gleichen Hauptschulklasse wie Emma. Wenn nun jemand behaupten würde, obwohl Anna in der gleichen Hauptschulklasse ist wie Jonas und Jonas in der gleichen Hauptschulklasse wie Emma, Anna doch nicht in der gleichen Hauptschulklasse ist wie Emma, dann wäre das unlogisch, dann wäre das falsch. [1]

Der zweiwertigen Logik nach gibt es immer nur zwei Möglichkeiten: wahr oder falsch, Ja oder Nein, gut oder schlecht, bewegt oder nicht bewegt. Die zweiwertigen Logik geht zurück auf den  Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Das  dialektische Denken erhebt den Anspruch, über der zweiwertigen Logik zu stehen.

In der Umgangssprache und im Alltagsdenken wird allerdings unter Logik mit unter etwas verstanden, was keine Logik ist. »Wenn die Erde eine Kugel wäre, dann würde doch logischer Weise an den Seiten und unten alles herunterfallen.« Häufig glauben Menschen, Logik sei, wenn etwas in Übereinstimmung steht mit ihren Vorurteilen oder Wünschen, mit den Auffassungen, die sie mit Selbstverständlichkeit ohne jeden Zweifel für richtig halten.


Die verschiedenen Gebiete der Logik können problemlos ein fünfjähriges Studium ausfüllen. In einem einführenden Artikel zur Logik kann man das Thema auch nicht annähernd erschöpfend wiedergegeben. Ich beschäftige mich in diesem Artikel nur mit den Anfangsgründen der Logik, um Anfängern und philosophischen Laien eine Vorstellung davon zu vermitteln, womit die Logik sich beschäftigt.

Klassische Logik

Die Anfänge der Logik liegen wie vieles aus dem Bereich der Philosophie im antiken Griechenland. Aristoteles hat die Logik als eigene Wissenschaft unter dem Namen »Analytik« begründet. Als Lehre vom richtigen Denken, das Aussageketten unabhängig vom konkreten Inhalt auf ihre formale Richtigkeit untersucht. Deshalb heißt dieses Verfahren »Formale Logik«.

Ein Großteil der klassischen Logik beschreibe ich im Artikel über Aristoteles. Vor dem Weiterlesen dieses Artikels sollte deshalb der  Abschnitt Analytik – Logik im Aristoteles-Artikel gelesen werden.


Kategorische Urteile

Kategorische Urteile sind einfache, nicht aus mehreren Urteilen zusammengesetzte Urteile, die eine Aussage machen über die Verbindung von einem Subjekt und einem Prädikat (im grammatischen Sinne).

In der klassischen Logik gibt es nur vier Arten Kategorischer Urteile. Alle einfachen, nicht zusammengesetzten Urteile entsprächen einer dieser vier Arten. (Die 4. Spalte ist erst verständlich nach dem Lesen des Abschnitts über moderne symbolische Logik.)

Die vier Kategorischen Urteile:

  Art des Kat.
Urteils		 Beispiel
 		 Moderne
symbolische Logik
A
 Allgemein
bejahend		 Alle Studenten
sind faul ;-)		 (∀x) Sx → Fx
E
 Allgemein
verneinend		 Alle Studenten
sind nicht faul.		 (∀x) Sx → ¬Fx
I
 Besonders
bejahend		 Einige Studenten
sind faul.		 (∃x) Sx ∧ Fx
O
 Besonders
verneinend		 Einige Studenten
sind nicht faul.

(∃x) Sx ∧ ¬Fx



Traditionell werden diese vier Arten von Urteilen mit den Buchstaben A, E, I und O bezeichnet. Die vier Arten kategorischer Urteile befinden sich untereinander in einem logischen Verhältnis, das man als Logisches Quadrat bezeichnet.

Logisches Quadrat:

Moderne symbolische Logik

Die moderne symbolische Logik, die Mitte des 19. Jahrhunderts entstand, ist eine Weiterentwicklung und Verfeinerung der klassischen Logik. Sie kann komplexe Aussagen und Aussageketten auf ihre logische Gültigkeit untersuchen, die mit der klassischen Logik nicht überprüfbar sind. Die moderne Logik wird mathematische oder symbolische Logik genannt. Auch die Bezeichnung Logistik wird zuweilen verwendet.

Als Begründer der modernen Logik gilt der deutsche Mathematiker und Philosoph Gottlob Frege (1848–1925).

Die moderne Logik arbeitet mit:

Moderne Logik erinnert an mathematische, algebraische Gleichungen, bloß dass die verwendeten Zeichen andere sind. Um die moderne Logik zu verstehen, muss man die dort verwendeten Symbole bzw. Zeichen erlernen. [Die Darstellung der Symbole der modernen Logik funktioniert auf Internetseiten nicht immer! Einige Browser, besonders ältere Versionen, stellen die Symbole gar nicht oder falsch dar.]


Aussagenlogik/Aussagenkalkül – Junktorenlogik

Wörter wie »und«, »oder«, »wenn«, »dann«, »nicht« etc. nennt man in der modernen Logik Junktoren. Gebräuchlich sind auch die Formulierungen Logische Konstanten und Logische Partikel.

Liste der wichtigsten Junktoren

Negation ¬p
∼p		 sprich nicht p
Konjunktion p&q
p∧q		 sprich p und q
Disjunktion p∨q sprich p oder q
Implikation
Konditional		 p⊃q
p→q		 sprich p impliziert q
wenn p, dann q
Bikonditional p↔q
p≡q		 sprich p genau dann, wenn q
p, wenn und nur wenn q


Prädikatenlogik/Prädikatenkalkül – Quantorenlogik

Eine Erweiterung der Aussagenlogik ist die Prädikatenlogik.

Prädikatenlogik arbeitet mit Quantoren.

Quantoren, auch Quantifikatoren genannt, ermöglichen es auszusagen, für wie viele Individuen ein Prädikat zutrifft.

Der Allquantor oder Universalquantifikator sagt aus, dass ein Prädikat auf alle Individuen zutrifft.

Symbol ist ein umgedrehtes A – ∀

(x) oder (∀x) – sprich: »Für jedes x ...«

Alle Menschen sind sterblich.
∀x (mensch(x) → sterblich(x))
Sprich:
Es gilt für jedes x: Wenn x ein Mensch ist, dann ist x sterblich.

Der Existenzquantor oder Existenzialquantifikator sagt aus, dass ein Prädikat auf mindestens ein Individuum zutrifft.

Symbol ist ein umgedrehtes E – ∃

(∃x) – sprich: »Es gibt mindestens ein x ...«

Es gibt sterbliche Menschen.
∃x (mensch(x) ∧ sterblich(x))
Sprich:
Es gibt mindestens ein x, das Mensch und sterblich ist.

Konstante und Variable

Eine Konstante ist ein Begriff mit genau bestimmter Bedeutung, die sich im Laufe von Überlegungen nicht verändert. Die Konstante ist somit ein Gegenbegriff zur Variablen.

Logische Konstanten bestimmen die logische Struktur von Aussagen und Aussageketten. In der Aussagenlogik sind dies die Junktoren, in der Prädikatenlogik zusätzlich die Quantoren.

Eine Variable ist eine Größe, die unterschiedliche Werte annehmen kann. Eine Variable ist somit ein Gegenbegriff zur Konstanten.

Logische Variablen sind sprachliche Zeichen, für die beliebige Ausdrücke einer bestimmten Art eingesetzt werden können.

Prädikatenvariablen werden traditionell symbolisiert durch Großbuchstaben. Am häufigsten wird begonnen mit »A, B, C, ...«. Aber auch der Anfangsbuchstabe des symbolisierten Wortes wird verwendet. Eine einheitliche Vorgehensweise gibt es nicht.

 Beispiel: Wenn Alina in der Englisch-Klausur eine Eins oder eine Zwei schreibt, dann bekommt sie von ihrem Vater fünf Euro. Sie hat eine Zwei geschrieben. Also bekommt sie von ihrem Vater fünf Euro.

A ∨ B → C, B ∴ C

Sprich: »A oder B dann C, B daher C.«

Individuenvariablen (x, y, z) werden symbolisiert durch kleine Buchstaben vom Ende des Alphabets »x, y, z«.

∀x
Sprich: »Es gilt für jedes x ...«

∃y
Sprich: »Es gibt mindestens ein y.«


Aussagenvariablen stehen für Sätze, Urteile etc. und werden meistens symbolisiert durch kleine Buchstaben aus der Mitte des Alphabets »p, q, r, ...«.

4. Spalte der vier Kategorischen Urteile

Hier nun die Erklärung was die Formeln in der  4. Spalte der vier Kategorischen Urteile bedeuten und wie man sie ausspricht: (Die Variablen sind verändert. die logische Struktur ist die gleiche.)

»Alle Schüler sind fleißig.«
(∀x) (Sx → Fx)
Sprich:
»Es gilt für jedes x: Wenn x ein Schüler ist, (dann) ist x fleißig.«

»Alle Schüler sind nicht fleißig.« (Keine Schüler sind fleißig.)
(∀x) (Sx → ¬Fx)
Sprich:
»Es gilt für jedes x: Wenn x ein Schüler ist, ist x nicht fleißig.«

»Einige Schüler sind fleißig.«
(∃x)(Sx ∧ Fx)
Sprich:
»Es gibt mindestens ein x, das Schüler und fleißig ist.«

»Einige Schüler sind nicht fleißig.«
(∃x)(Sx ∧ ¬Fx)
Sprich:
»Es gibt mindestens ein x, das Schüler und nicht fleißig ist.«



Logische Kontradiktion

Logische Kontradiktionen sind immer falsch:
Es regnet und es regnet nicht.
a ∧ ¬a
Sprich: »a und nicht a.«
Der Satz ist immer falsch.


Logische Tautologie

Logische Tautologien sind Aussagen, die immer wahr sind.
Es regnet oder es regnet nicht.
a ∨ ¬a
Sprich: »a oder nicht a.«
Der Satz ist immer wahr, hat aber auch keinen Erkenntniswert.
(Mit der Ausnahme natürlich, dass er ein Gesetz der Logik aufzeigt.)

In der dialektischen Logik stimmt das mit den Tautologien und Kontradiktionen nicht!


Gesetz der doppelten Negation

p ↔ ¬ ¬ p
Sprich: »p genau dann, wenn nicht nicht p.«
In der Mathematik ist minus mal minus = plus.
In der Logik heißt das: »Duplex negatio est affirmatio.« [2]


Komplexe Formeln

Hier ein kleines Beispiel für einen Sachverhalt, den die klassische Logik nicht behandeln konnte:

Alle Deutschen sind Menschen. Ergo: Alle Hände von Deutschen sind Menschenhände. In der Prädikatenlogik sieht das so aus: (Es muss sich keiner bemühen, diese Formel noch auszusprechen! Es sei denn, es hat jemand vor, die symbolische Logik über ihre Anfangsgründe hinaus zu erlernen.)

(x)((∃y)(Dy ∧ Hxy) → (∃z)(Mz ∧ Hxz))

Dy heißt: y ist ein Deutscher.
Hxy heißt: x ist eine Hand von y.
Mz heißt: z ist ein Mensch.

Logik als Instrument technischer Wirklichkeitsbeherrschung
bzw. -veränderung

Der Computer ist eine logische Maschine. Durch aneinandergehängte Schalter, durch Schaltkreise führt der Computer logische Operationen aus. Diese für den Computernutzer unsichtbaren (mikroskopisch kleinen elektronischen) Basisoperationen sind Voraussetzung dafür, dass Sie im Moment gerade diesen Text auf Ihrem Computer-Bildschirm lesen können, dass Sie Computerspiele spielen können, dass Sie auf dem Computer Musikstücke und Videos ablaufen lassen können, dass Sie einen MP3-Player, ein Handy usw. haben. Der Computer wurde von Menschen erfunden und weiterentwickelt, die sich gut mit moderner symbolischer Logik auskannten.

Weitere Bedeutungen des Begriffs Logik

Der Begriff Logik wird in der Philosophie auch in weitergehendem Sinne gebraucht, nicht nur im Sinne der formalen Logik.

Die materiale oder reale Logik Kants beschäftigt sich nicht nur mit dem richtigen Denken – im Sinne der formalen Logik –, sondern auch mit der Frage des richtigen Erkennens. Kants »Transzendentale Logik« untersucht das Verhältnis von Sein und Denken, von Seiendem und Gedachtem. Logik wird bei Kant zur Untersuchung des menschlichen Erkenntnisvermögens.

Formale wie materiale Logik beschäftigt sich mit den endlichen Dingen. Anders die metaphysische Logik Hegels. Die Wissenschaft der Logik (Titel eines seiner Werke) beschäftigt sich mit dem Unendlichen, mit dem  »Weltgeist«. Sie ist Ontologie. Denken bzw. Vernunft und Sein werden gleichgesetzt. Logik ist die Entwicklung des Begriffs. Hegel vertritt eine dialektische Logik, von der er (und viele seiner Anhänger) annehmen, dass sie der herkömmlichen Logik überlegen sei. Hegel: »Die Logik sind die Gedanken Gottes vor der Schöpfung.«

Logik der Sache bedeutet alle Gesetze, Prinzipien etc., die für die betreffende Sache wichtig sind. In diesem Sinne spricht Popper von der Logik der Forschung (Titel eines seiner Werke) und Pascal von der »Logik des Herzens«.


Zitate zur Logik

Georges Bernanos: »Was wir Zufall nennen, ist vielleicht die Logik Gottes.«

Ludwig Börne: »Die Frauen haben zuviel Phantasie und Erregbarkeit, um viel Logik zu haben.«

Pierre Bourdieu: »Die Logik kann nur deshalb überall sein, weil sie in Wirklichkeit nirgendwo ist.« [Damit demonstriert er einen eingeschränkten Wirklichkeitsbegriff.]

Gilbert Keith Chesterton: »Nicht der ist wahnsinnig, der seine Logik verloren hat. Wahnsinnig ist der, der alles verloren und seine Logik behalten hat.« »Logik ist eine Frage des Glaubens. Denn es ist ein Akt des Glaubens zu behaupten, dass die Idee etwas mit der Realität zu tun hat.«

Hoimar von Ditfurth: »Unlogik lässt sich eben durch Logik in keiner Weise erschüttern.«

Eddington: »Der Beweis ist ein Götze, vor dem der Mathematiker sich foltert.«

Carl Einstein: »Die Logik will immer Eines und bedenkt nicht, dass es viele Logiken gibt.«

Anatole France: »Es liegt in der menschlichen Natur vernünftig zu denken und unlogisch zu handeln.«

Jostein Gaarder: »Der Logik fehlt es gar zu sehr an Ambivalenz. Deshalb eignet sie sich auch nicht sonderlich zur Konfliktlösung oder überhaupt zu irgendwas. Sie ist mausetot.«

Goethe:
»Mein teurer Freund, ich rat Euch drum
Zuerst Collegium Logicum.
Da wird der Geist Euch wohl dressiert
in spanische Stiefeln eingeschnürt,
Dass er bedächtiger so fortan
Hinschleiche die Gedankenbahn,
Und nicht etwa, die Kreuz und Quer,
Irrlichteliere hin und her.«

Grillparzer: » Moral ein Maulkorb für den Willen, Logik ein Steigriemen für den Geist.«

Hegel: »Die Logik sind die Gedanken Gottes vor der Schöpfung.«

Werner Heisenberg: »In der Quantentheorie muss offenbar dieses Gesetz ›tertium non datur‹ abgeändert werden.« [Im subatomaren Bereich gilt die Logik nicht!]

Elbert Hubbard: »Logik ist ein Instrument zum Aufpolstern der Vorurteile.«

Joseph Joubert: »Der Logiker operiert, der Metaphysiker betrachtet.« »Logik ist für die Grammatik das, was der Sinn für die Worte ist.«

Kafka: »Die Logik ist zwar unerschütterlich, aber einem Menschen, der leben will, widersteht sie nicht.«

Immanuel Kant: »Die allgemeine Logik nun, als vermeintes Organon, heißt Dialektik.« »Es ist aber der Zweck der Logik, nicht zu verwickeln, sondern aufzulösen, nicht verdeckt, sondern augenscheinlich etwas vorzutragen.«

Hans Kasper: »Pathos ist Faulheit der Logik.«

Krishnamurti: »Verstehen kann sich nur dann einstellen, wenn direkte Wahrnehmung da ist und keine logische Schlussfolgerung.«

John Locke: »Logik ist die Anatomie des Denkens .«

Nicolas Malebranche: »Die Einbildungskraft ist der Kobold der Logik.«

Montaigne: »Das Unlogische lockt die Frauen.«

Nietzsche: »Das logische Denken ist das Muster einer vollständigen Fiktion.« »Es kommt in der Wirklichkeit nichts vor, was der Logik streng entspräche.« »Auch die Logik beruht auf Voraussetzungen, denen nichts in der wirklichen Welt entspricht, zum Beispiel auf der Voraussetzung der Gleichheit von Dingen, der Identität desselben Dinges in verschiedenen Punkten der Zeit.« »Logik ist der Versuch, nach einem von uns gesetzten Seins-Schema die wirkliche Welt zu begreifen, richtiger, uns formulierbar, berechenbar zu machen.« »Auch der vernünftigste Mensch bedarf von Zeit zu Zeit wieder der Natur, das heißt seiner unlogischen Grundstellung zu allen Dingen.« »Zu den Dingen, welche einen Denker in Verzweiflung bringen können, gehört die Erkenntnis, dass das Unlogische für den Menschen nötig ist, und dass aus dem Unlogischen vieles Gutes entsteht.«

Ovid: »An der einen Seite zieht mich die Liebe, an der anderen die Logik.«

Edgar Allan Poe: »Die Eitelkeit der Logik ist ja imstande, eines Menschen Hirn gänzlich zu verwirren.«

Sri Aurobindo: »Was für unsere begrenzte Vernunft Magie ist, ist die Logik des Unendlichen.«

Rabindranath Tagore: »Ein Geist, der nur Logik ist, gleicht einem Messer, das nichts ist als Klinge. Die Hand wird blutig beim Gebrauch.«

Otto Weiss: »Zu den schlechtesten Logikern gehören – Furcht und Hoffnung« »Seufzend sagt ein Logiker: ›'s ist leichter zu widerlegen als zu überzeugen!‹« »Die Logik hat vier mächtige Feinde: Liebe, Hass, Interesse, Eitelkeit.«

Ludwig Wittgenstein: »Die Logik ist keine Lehre, sondern ein Spiegelbild der Welt.«


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Anmerkungen

Anm. 1: Aber Vorsicht! Man kann mit einem solch formalen Schema auch zu einem Sophismus gelangen. »Wenn A der Halbbruder von B und B der Halbbruder von C, dann ist A nicht automatisch der Halbbruder von C.« Zurück zum Text

Anm. 2: Als ich während meines Philosophiestudiums Logik als Pflichtfach absolvierte, drehte ich den lateinischen Satz um: »Duplex affirmatio est negatio.« Mein Professor wandte natürlich sofort ein, dass man diesen Satz nicht umdrehen dürfe, dass er dann nicht mehr stimme. Aber auf meine Frage, was »Ja, ja!« bedeutet, konnte auch er nur antworten: »Leck mich am A...« In der Stadt Berlin haben wir zurzeit eine – wie es genannt wird – »rot-rote« Regierungskoalition. Manchmal habe ich den Eindruck, dass das auch nur eine Art »Duplex affirmatio« ist, zum Beispiel wenn die Lehrmittelfreiheit abgeschafft wird. Zurück zum Text


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